Великий проект Лейбница

В книге «Творцы математики» видного историка математики Э. Т. Белла  (Книгу в формате djvu можно скачать  здесь ) можно познакомиться с замечательной мечтой 20-летнего Лейбница создать «общий метод, с помощью которого все истины могут быть сведены к некоторому виду вычислений. В то же время это должен быть род универсального языка или записей, однако коренным образом отличный от всех предложенных до сих пор; в нём символы и даже слова будут направлять мысль, и ошибки, исключая ошибки в данных, могут быть только ошибками вычислений. Очень трудно будет составить или изобрести этот язык, или характеристику, но его будет очень легко понимать без всяких словарей».

Лейбниц полагал, что для осуществления этого проекта может быть достаточно несколько подходящих людей, которые смогут выполнить эту работу за пять лет. Говоря о геометрии и о рассуждениях вообще, он полагал, что язык его метода будет отличаться от алгебры и «будет иметь большие преимущества для точного представления разуму естественным образом всего, что опирается на творческие способности ума».

«Но главная его полезность состоит в выводах и рассуждениях, которые можно преобразовать с помощью действий над знаками [символами], которые для своего выражения графиками (или даже моделями) потребовали бы слишком большой обработки или образовали бы столь запутанную систему огромного количества точек и прямых, что разобраться в ней было бы немыслимо без неисчислимых тщетных попыток; в противоположность этому указанный метод вёл бы [к конечной цели] уверенно и просто. Я думаю, что механику можно будет трактовать с помощью этого метода почти так же, как геометрию».

Меня не очень озадачивала оптимистичная оценка количества времени, которое, по Лейбницу, необходимо включить в работу по реализации его великого проекта. Увлечь проектом Лейбница нескольких подходящих людей мне не удалось, но проект стоил того, чтобы его принять.

Поэтому было принято решение начать испытывать свои силы в одиночку, грызть материал, даже если придётся обломать зубы

Из множества фигур геометрии, охватываемых понятием многоугольника, треугольник АВС (рис. 1а) является геометрической фигурой, обладающей минимальным количеством углов и сторон.

Если вне треугольника Δ АВС на плоскости взять точку D, соединить её с вершинами А, В и С, то в результате получится четырёхугольник АВСD (рис. 1б). Отношение треугольника к четырёхугольнику таково, что треугольник Δ АВС заключает в себе 3 отрезка прямой, а четырёхугольник АВСD с двумя диагоналями заключает в себе те же 3 отрезка прямой и 3 новых отрезка прямой. Иначе говоря, 3 стороны треугольника Δ АВС дополняются в четырёхугольнике АВСD тремя сторонами безымянной фигуры (рис. 1с).

Треугольник и безымянная фигура вместе образуют новую геометрическую фигуру, ставшую четырёхугольником. Количественное отношение числа сторон и диагоналей четырёхугольника к числу сторон данного треугольника равно двум.

Рассмотрим формы мысли, или геометрические фигуры, которые в определённом порядке принимает в процессе своего развития понятие четырёхугольника. Его формирование в состоянии движения осуществляется в течение определённого периода времени в неопределённом пространстве.

Одномерное время понятия четырёхугольника определяется трёхмерным пространством и уподобляется трёхмерному пространству, то есть представляется выраженным в трёх пространственных формах как прошедшее, настоящее и будущее время. Занимаясь проблемой формирования понятия четырёхугольника, которое являлось для меня Словом, я был вынужден погрузиться с головой в область чистой мысли абстрактного мышления.

Анализ понятия четырёхугольника может исходить только из анализа его высшей, предельно развитой, формы, которой является понятие квадрата. Анализ необходим только мне, а читателю до него нет дел, так как анализ переворачивает действительные отношения и выражает их в извращённой мистической форме: из квадрата происходит параллелограмм, из параллелограмма – трапеция, из трапеции – единичный случайный четырёхугольник. На самом деле – всё наоборот.

Анализ квадрата выявляет в нём 28 признаков и свойств, в числе которых 7 образовались вместе с квадратом, а остальные 21 перешли к квадрату как бы по наследству от менее развитой формы понятия четырёхугольника. Анализ 7 свойств и признаков отбрасывает, а 21 сохраняет, которые собой представляют понятие параллелограмма.

В параллелограмме обнаруживается 7 свойств и признаков, которые образовались вместе с ним, а остальные 14 перешли к нему по наследству от менее развитой формы понятия четырёхугольника. Анализ 7 свойств и признаков отбрасывает, а 14 сохраняет, которые собой представляют понятие трапеции.

В трапеции обнаруживаются 7 свойств и признаков, которые образовались с ней вместе, а остальные 7 достались ей по наследству от менее развитой формы понятия четырёхугольника. Её 7 свойств и признаков отбрасываются, а 7 сохраняются, которые собой представляет произвольно взятый единичный случайный четырёхугольник.

Следовательно, понятие четырёхугольника было в детстве произвольным четырёхугольником, в юности – трапецией, в молодости – параллелограммом, в зрелости – квадратом. Остались ромб и прямоугольник – неправильные четырёхугольники, появившиеся после появления правильного четырёхугольника. Как говорится, в старости Федот уже не тот. В старости квадрат – это ромб или прямоугольник.

Но один квадрат не может статья двумя четырёхугольниками, ромбом и прямоугольником. Было два квадрата – видимый и невидимый. Видимый квадрат стал в старости ромбом, а невидимый квадрат стал в старости прямоугольником. Невидимый квадрат мог образоваться из невидимого параллелограмма. Невидимый параллелограмм мог образоваться из невидимой трапеции. Невидимая трапеция могла образоваться из случайного четырёхугольника. Невидимый четырёхугольник мог образоваться из невидимого треугольника. Концом и результатом анализа оказались видимый и невидимый треугольники.

Эти треугольники должны стать началом и исходным пунктом синтеза – обратного пути в обратном направлении, который заключает в себе первую, вторую и третью стадии формирования понятия четырёхугольника.

Три стадии – следствие развития понятия четырёхугольника в течение определённого периода времени, определённого и выраженного трёхмерным пространством, которое само остаётся неопределённым. А определённый период времени формирования понятия четырёхугольника, принявший на себя форму трёхмерного пространства, представляется в трёх пространственных формах в качестве прошедшего, настоящего и будущего времени, или первой, второй и третьей стадии развития понятия четырёхугольника.

Первая стадия. Стадию развития понятия четырёхугольника начинают два треугольника – видимый действительный и невидимый мнимый треугольники. Стадия представляет собой период времени понятия четырёхугольника в прошедшем времени. Видимый треугольник дополняется видимой безымянной фигурой. В результате образуется видимый единичный случайный четырёхугольник.

Невидимый четырёхугольник образуется в результате дополнения невидимого треугольника невидимой безымянной фигурой. Его присутствие в развитии понятия четырёхугольника мы можем подразумевать, но не рассматривать, поскольку невидимую геометрическую фигуру рассматривать не имеет смысла. Достаточно будет постоянно иметь её в виду, так как невидимый четырёхугольник неотделим от видимого четырёхугольника и составляет с ним одну пару.

В поле зрения присутствует лишь один видимый четырёхугольник, существующий в состоянии движения и изменения своей формы. Невидимый четырёхугольник имеет внешнее происхождение.

Форма 1. Произвольно взятый единичный четырёхугольник АВСД, как уже было сказано, состоит из двух частей: из АВС со сторонами АВ, ВС и диагональю АС четырёхугольника и безымянной фигуры со сторонами ДА, ДС и диагональю ДВ четырёхугольника. Обладая свойствами и признаками, четырёхугольник АВСД в себе заключает:

1. треугольник; 2. безымянную фигуру; 3. четыре угла; 4. четыре стороны; 5. две диагонали; 6. точку пересечения диагоналей; 7. сумму внутренних углов, равную четырём прямым углам .

Четырёхугольник АВСД представляет собой понятие четырёхугольника в его исходной единичной случайной форме, существующей в состоянии движения, изменения и развития в течение определенного (делимого) периода времени в неопределённом (неделимом) пространстве. Неопределённое пространство четырёхугольника АВСД не имеет определённых размеров, начала, конца и направления, величины углов, сторон и диагоналей и т. д.

Форма 2. Она называется трапецией и происходит из четырёхугольника АБСД, который в процессе своего изменения сохраняет все свои свойства и и признаки и приобретает новые свойства, становясь более развитой и совершенной формой понятия четырёхугольника.

Трапеция сохраняет все свойства случайного четырёхугольника АВСД и заключает в себе ещё 7 свойств и признаков, которые образовались вместе с нею и отличают её от случайного четырёхугольника.

Трапеция АВСД существует в состоянии движения, изменения и развития в течение определённого времени в неопределённом пространстве, сохраняя признаки и свойства единичного четырёхугольника и приобретая новые свойства и признаки, становясь более совершенной формой понятия четырёхугольника.

Трапеция заключает в себе:

8. параллельные нижнее и верхнее основания; 9. сумму углов, прилежащих к правой боковой стороне, равную двум прямым углам; 10. сумму углов, прилежащих к левой боковой стороне, равную двум прямым углам; 11. равные накрестлежащие углы при одной диагонали; 12. равные накрестлежащие углы, прилежащие к другой диагонали; 13. может иметь равные боковые стороны; 14. может иметь равные внутренние углы при основаниях; 15. может иметь прямые углы при боковой стороне; 16. может иметь вертикальную ось симметрии и т.д.

Трапеции различных видов и различные трапеции одного вида представляют собой особенную, полную, или развёрнутую, форму понятия четырёхугольника. Многообразные трапеции, кроме своих общих свойств и признаков, могут иметь особенные свойства, которые они не передают по наследству следующей, более совершенной форме понятия четырёхугольника.

Форма 3. Она называется параллелограммом. Эта форма представляет собой понятие четырёхугольника на завершающем этапе первой стадии его развития. Параллелограмм сохраняет все существенные свойства и признаки трапеции и приобретает новые, которые его отличают от трапеции.Параллелограмм существует в течение определённого периода времени в неопределённом пространстве, в котором его стороны, диагонали и углы не могут иметь определённых числовых значений. По отношению к единичному четырёхугольнику и особенным трапециям параллелограмм им противостоит в качестве общей эквивалентной формы выражения понятия четырёхугольника. Его свойства и признаки дополняют существенные свойства и признаки трапеций, но в своём необходимом развитии не достигают своего предела.

Параллелограмм заключает в себе:

15. параллельные боковые стороны, чего не имеет трапеция; 16. равные верхнее и нижнее основания, чего не имеет трапеция; 17. сумму углов, прилежащих к верхнему основанию, равную двум прямым; 18. точку пересечения диагоналей, которая делит диагонали пополам; 19. точку пересечения диагоналей, которая является центром симметрии; 20. сумму углов, прилежащих к нижнему основанию, равную двум прямым; 21. равные противолежащие углы;

Свойства и признаки параллелограмма требуют своего дальнейшего развития, но не требуют дополнения новыми свойствами и признаками. Их количество достигло своего предела, но их качество ещё не достигло предела своего развития.

Вторая стадия. Она представляет собой вторую пространственную форму периода времени понятия четырёхугольника. Период времени определяется и выражается второй мерой пространства и представляется по отношения к первой стадии настоящим временем. В течение настоящего времени параллелограмм обращается в правильный четырёхугольник, называемый квадратом. Количество признаков и свойств параллелограмма дополняется развитием до предела их качественной определённости.

Состояние движения параллелограмма, существующее в течение определённого периода времени в неопределённом пространстве, обращается в состояние покоя высшей развитой формы понятия четырёхугольника.

Форма 4. Предельно развитая форма понятия четырёхугольника называется правильным четырёхугольником или квадратом.

Квадрат заключает в себе:

22. взаимно перпендикулярные диагонали; 23. равные все стороны; 24. равные диагонали; 25. диагонали делят равные противоположные углы пополам; 26. диагонали являются осями симметрии; 27. равными и прямыми являются все внутренние углы; 28. две оси симметрии через середины противоположных сторон.

Признаки и свойства квадрата характеризуют его качество как прямо противоположное качеству параллелограмма. Настоящее время, в течение которого параллелограмм становится квадратом, является переходным временем. Оно становится неопределённым будущим временем квадрата.

Неопределённое пространство параллелограмма, в котором он находился в состоянии движения, обращается в определённое пространство квадрата, в котором он находится в состоянии покоя.

В соответствие общего соотношения неопределенностей пространства и времени, неопределённое пространство настоящего времени параллелограмма обращается в определённое пространство будущего времени квадрата.

Третья стадия. Предельно совершенная всеобщая форма и зрелое содержание квадрата исключают возможность своего дальнейшего развития, а их любое изменение может только состоять в их разложении и распаде, в обращении правильной формы квадрата в неправильную форму и в утрате некоторых свойств и признаков.

Начало третьей стадии совпадает с началом периода времени, который определяется и выражается третьей мерой пространства, представляющей его как будущее время. Существование квадрата в состоянии покоя обращается в его существование в состоянии застоя и процесса разложения его формы и содержания. В результате форма видимого и форма невидимого квадрата обращается в особенную неправильную форму ромба и прямоугольника понятия четырёхугольника.

Форма 5. В ней форма видимого квадрата и форма невидимого квадрата обращаются соответственно в особенную неправильную форму ромба и прямоугольника понятия четырёхугольника.

Их ожидает дальнейшее разложение и переход из состояния «старости» в состояние «дряхлости». Их свойства и форма имеют особенный характер. Их ожидает дальнейшее разложение и переход из состояния «старости» в состояние «дряхлости». В ромбе отсутствуют прямые углы, равные диагонали и две оси симметрии, хотя они присутствуют в квадрате и прямоугольнике. В прямоугольнике его диагонали не являются осями симметрии, не делят пополам противоположные углы и неравные его четыре стороны, хотя они присутствуют в квадрате и ромбе.

Форма 6. В этой форме ромб разлагается на треугольник и на безымянную фигуру, а прямоугольник принимает на себя форму случайного четырёхугольника (рис. 1). Эти три фигуры находятся в состоянии покоя в определённом пространстве в течение неопределённого времени.

Форма 7. В этой форме понятие четырёхугольника сохраняет в себе форму треугольника и исключает из себя безымянную фигуру и видимый прямоугольник и принимает в себя новую безымянную, дополняющую треугольник до случайного видимого четырёхугольника, и невидимый случайный четырёхугольник, заключающий в себе новый невидимый треугольник и невидимую новую безымянную фигуру.

Видимая безымянная фигура и видимый четырёхугольник, существуя в состоянии покоя в закрытом пространстве в течение неопределённого времени, не могут выйти из понятия четырёхугольника, так как не способны сами себя вывести из состояния покоя. Их выводит из состояния покоя внешняя среда. Она их выталкивает вселением в понятие четырёхугольника новой безымянной фигуры и нового невидимого случайного четырёхугольника, заключающего в себе невидимый треугольник и невидимую безымянную фигуру.

Другими словами, в форме 7 понятие четырёхугольника возвращается в то самое состояние, в котором оно начинало первую стадию в форме 1.

И теперь, завершив третью стадию в форме 7, понятие четырёхугольника может повторить цикл своего циркулирующего движения снова и снова, сколько угодно раз. Три стадии и семь форм цикла формирования формы мысли на примере понятия четырёхугольника прослежены в деталях.

Мы можем мыслить только так, как мы действуем в процессе труда, в конце которого получается готовый результат, не какой-нибудь, а именно тот, который имелся в мысленной форме в голове уже в начале процесса труда

Поняв процесс формирования мышлением предмета в мысленной форме, мы можем понять процесс формирования процессом труда предмета в чувственно воспринимаемой физической форме. Поняв действие человека в процесс его труда, можно вполне понять действие самой природы, поскольку человек является её неотъемлемой частью. По необходимому отношению идей можно установить необходимое отношение вещей.

Обнаруженные три стадии и семь форм в процессе формирования понятия четырёхугольника как формы мысли абстрактного мышления отражают и выражают собой три стадии и сем форм, присутствующие в процессе формирования реальных вещей и явлений в обществе и природе. Они представляют собой род универсального языка, в котором символы, геометрические фигуры, направляют мысль к конечной цели уверенно и просто.

На примере конкретного понятия геометрии – понятия четырёхугольника удаётся проследить, как протекает реальный процесс научного знания и познания конкретного объекта, в ходе которого единичная форма мысли развивается и обращается в особенную форму, а особенная форма развивается и обращается во всеобщую форму – на первой стадии. Всеобщая форма мысли, замутнённая объективной реальностью, развивается и обращается в чистую, предельно совершенную, форму мысли, дальнейшее развитие которой категорически невозможно – на второй стадии.

На третьей стадии предельно сложная чистая форма мысли разлагается и распадается на простые элементы. Но в последней по порядку седьмой форме реальный процесс научного знания и познания возвращается к своему началу и исходному пункту, завершая цикл циркулирующего движения и полагая начало первой форме первой стадии нового цикла. Можно сказать, что получен ответ на вопрос о том, как возникает новое знание и в каких формах мысли оно выражается новым понятием. На конкретном понятии четырёхугольника конкретной науки геометрии получено разрешение общей проблемы генезиса научного понятия и прослеживаются истоки принципа сохранения в области научного знания и познания.

Понятие четырёхугольника обобщает и выражает действие человеческого мышления, которое аналогично действию человека в процессе труда и аналогично действию самой природы в животной жизни, растительной жизни и в неорганической жизни. Понятие четырёхугольника обобщает собой все известные реальные слабые подсистемы, существующие в единстве связи с сильными подсистемами всех известных самоорганизующихся систем на Земле.

Показанные здесь выводы и рассуждения об обращении низшей геометрической фигуры в высшую геометрическую фигуру будут представлены позже в отношении к выводам и рассуждениям об обращении низшей формы объективности в её высшую форму - в моих последующих статьях. А что касается возможности трактовать механику с помощью метода, установленного великим проектом Лейбница, то мне об этом пока говорить преждевременно, и, полагаю, не мне судить о том, в какой мере мне это удалось или не удалось.