Доказательства гипотезы Таниямы и великой теоремы Ферма

Доказательство гипотезы Таниямы

Гипотеза Таниямы-Шимуры: «Каждой эллиптической кривой соответствует определённая модулярная форма».

Уравнения вида:

называются кубическими уравнениями эллиптических кривых, которые известны математикам с античных времён. На правой стороне уравнение имеет четыре члена. Но членов в нём может быть три, два и один. Особенностью уравнения можно считать то, что его правая сторона однозначно задаёт бесконечный ряд слагаемых специального вида. Бесконечный ряд его слагаемых называется Е-рядом.

К кубическим эллиптическим уравнениям и их Е-рядам имел особый интерес японский математик Ютака Танияма (12 ноября 1927 — 17 ноября 1958). И такой же интерес он имел к модулярным формам. Модулярная форма является математическим объектом, который математики открыли, как принято считать, в 19-м веке.

Особенностью модулярных форм является то, что они обладают предельно возможной симметрией. Их можно сдвигать, или параллельно переносить в любом направлении и на любое расстояние. Их можно зеркально отражать, поворачивать бесконечно многими способами, перестраивать и при этом они не изменяют своей первоначальной формы. По определению, модулярные формы являются чисто математическим объектом, который невозможно изобразить графически, выразить уравнением и даже нельзя наглядно себе представить.

Ютака Танияма однажды установил, что отдельная модулярная форма может быть задана бесконечным рядом слагаемых специального вида, членами М-ряда, точно так же как может быть задана эллиптическая кривая кубического уравнения (1). Вычислив ещё несколько членов модулярной формы, он обнаружил в точности такие же члены в Е-ряду кубического уравнения эллиптической кривой.

На других примерах модулярных форм М-ряда Танияма обнаружил точное совпадение членов М-ряда модулярных форм с членами Е-ряда кубического эллиптического уравнения. На этом основании он предположил, что модулярная форма может находиться во взаимно однозначном соответствии с некоторым кубическим уравнением эллиптической кривой. Так появилась предпосылка для появления гипотезы, которая позже была названа его именем.

На Международном симпозиуме в Токио Танияма в 1955 году предложил вниманию присутствующих молодых математиков четыре задачи. В задачах присутствовали примеры, наглядно показывающие взаимно однозначное соответствие и связь между кубическими уравнениями и модулярными формами, то есть между членами Е-ряда и членами М-ряда. Он продемонстрировал наличие связи между несколькими эллиптическими кривыми и определёнными модулярными формами. Взаимно однозначное соответствие между кубическими уравнениями и модулярными формами на конкретных примерах было установлено и другим японским математиком, другом Таниямы, продолжившим его работу, Горо Шимурой (Goro Shimura - род. 23 февраля 1930).

Выполненной работы Таниямы и Шимуры хватало для получения отдельных примеров, но её явно было недостаточно для логического обобщения полученных примеров связи эллиптических кривых и модулярных форм. Отдельные примеры Таниямы не могли представлять собой без обобщения логически обоснованного доказательства существования общей связи между кубическими уравнениями эллиптических кривых и модулярными формами. Примеры совпадения членов Е-ряда и членов М-ряда, являлись лишь основанием для гипотезы: «Каждой эллиптической кривой соответствует определённая модулярная форма».

Причина совпадений членов Е-ряда и членов М-ряда продолжительное время оставалась непонятой и не имеющей объяснения. Связь между этими математическими объектами казалась совершенно невероятной.

До недавнего времени в сознании математиков коренилось убеждение в том, что модулярные формы, открытые в 19 веке, существуют в четырёхмерном пространстве, что их нельзя ни выразить с помощью символов, ни нарисовать, ни наглядно себе представить, и что кубические уравнения эллиптических кривых и модулярные формы являются несопоставимыми математическим объектами. Когда я впервые с ними познакомился, то они мне показались не очень интересными.

Интерес к нему меня появился позже, когда мне стало известно утверждение немецкого математика Герхарда Фрея о том, что доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры связано с доказательством великой теоремы Ферма. Интерес значительно возрос, потому, что утверждение Фрея получило активную поддержку Саймона Сингха в его книге «Великая теорема Ферма».

Герхард Фрей, как оказалось, заменил уравнение великой теоремы Ферма:

своим уравнением:

По форме оно было похожим на уравнение теоремы Ферма (2) а по смыслу оно было прямо противоположным. Фрей предположил, что его уравнение (3) имеет решение в целых положительных числах. Замена уравнения (2) уравнением (3) противоположного смысла, но аналогичным ему по форме, явилось скрытым неблаговидным приёмом, позволяющим выдавать не равносильные уравнения (2) и (3) как равносильные. То, что в уравнении (2) требовалось доказать, в уравнении (3) принималось Фреем баз доказательства как данное.

Одно дело, если бы Фрей своё предположение открыто противопоставил уравнению (2) теоремы Ферма и открыто заявил о том, что он доказывает теорему методом от противного, и совсем другое дело, если он делает это же самое, без намёка на использование метода доказательства от противного.

Дело в том, что доказывать великую теорему Ферма методом от противного не имеет смысла. Методом от противного могут доказываться только обратные теоремы и только после доказательства прямой теоремы обычным методом.

Фокус-покус Фрея с заменой уравнения (2) неравносильным уравнением (3), но фигурирующим в качестве равносильного уравнения, не заметил Саймон Сингх и принял подлог за чистую монету.

«Фрей, – писал Саймон Сингх, – не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, B и C. Тем самым он предположил, что для некоторого N выполнено равенство:

Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения (3). Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма к виду

Замаскированный обман Фрея, содержащийся в цитируемом абзаце, Сингх принял за строгую математическую процедуру, которая не только изменяет вид уравнения, но изменяет и его сущность.

Фрей с помощью искусных и сложных манёвров «преобразовал» форму своего ложного предположения в форму истинного предположения. В результате уравнение (3) кажется не «якобы» удовлетворяющим уравнению (2), а точно ему удовлетворяющим. По Фрею, уравнение (3) существует тогда и только тогда, когда уравнение (2) допускает решение в целых числах.

Но ведь в теореме Ферма требуется доказать, что уравнение (2) не допускает решения в целых числах, из чего следует, что уравнение (3) может не существовать и что с ним невозможны не только искусные и сложные манёвры, а вообще не имеет смысла иметь дело. Заодно с этим, Фрей использует аналогичный приём в области логики. В этом можно убедиться, если обратить должное внимание на логическое отношение определяемого Фреем уравнения (2) определяющим уравнением (4).

По утверждению Фрея, если уравнение (2) допускает решение в целых числах, то и уравнение (4) допускает решение в целых числах. А если уравнение (4) не допускает решение в целых числах, то и уравнение (2) не допускает решения в целых числах. Уравнения (2) и (4) выдаются как равносильные, а на самом деле доказывается, что уравнение (2) не допускает решения в целых числах, а уравнение (4) допускает решение в целых числах по предположению как данное.

Логика Фрея хромает на обе ноги. Например, логическое определение таково: Иван – человек, но человек - не Иван. Человек – не только имеет одно единственное конкретное имя Иван. На целом свете имён Иван много, а других имён ещё больше. Если человек – Иван, то о нём ничего конкретного сказать невозможно.

Определение понятия означает его логическое подведение под более общее понятие, которое, определяя менее общее понятие, само остаётся неопределённым понятием. Если уравнение (2) определяется уравнением (3), а уравнение (3) преобразуется в уравнение (4), то уравнение (4) является более общим уравнением, которое, определяя менее общее уравнение (2), само остаётся неопределённым уравнением, доказательство которого не имеет смысла. Его следует заменить хотя бы одним единственным решением в целых числах. Только так и никак иначе.

Единственного решения в целых числах уравнения (4) Фрей не находит и заменяет его утверждением: если доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, что уравнение (4) имеет модулярную форму, то оно не имеет решений в целых числах. А если уравнение (4) не имеет решений в целых числах, то и уравнение (2) не имеет решений в целых числах, из чего следует, что великая теорема Ферма доказана. Наконец, стало ясно, что без доказательства гипотезы Таниямы, невозможно проверить истинно или ложно утверждение Герхарда Фрея.

Первое, что мне потребовалось сделать, это установить, что модулярные формы возникли не в 19 веке и не в чётырёхмерном пространстве, а ещё при Пифагоре в двухмерном пространстве, на плоскости. Модулярные формы можно и нарисовать и наглядно себе представить.

Первую модулярную форму открыл Пифагор. Её представляла собой диагональ квадрата, которая обладает предельно возможной симметрией. Диагональ квадрата можно сдвигать, или параллельно переносить в любом направлении и на любое расстояние, отражать зеркально, менять местом фрагменты, поворачивать бесконечно многими способами, перестраивать, рассматривать в отдельности от сторон квадрата. При этом диагональ не изменяет своей формы.

При стороне квадрата, равной а = 1, и диагонали, равной d = √2, диагональ не может выражаться ни целым числом, ни дробью с целым числителем и знаменателем.

Длина диагонали d = √2 квадрата выражается в форме М-ряда:

	√2 =	(1 +	4	+	1	+	4	+	2	+	1	+	3	+   ...)	(5)
			10		102		103		104		105		106

Если на диагонали d = √2 как на стороне квадрата построен квадрат, а на квадрате построен куб, то объём куба может быть выражен кубическим уравнением эллиптической кривой V=2 √2. Кубическое уравнением заключает в себе форму Е-ряда:

	2 √2 =	2 (1 +	4	+	1	+	4	+	2	+	1	+	3	+   ...)	(6)
			10		102		103		104		105		106

Члены Е-ряда в точности совпадают с соответствующими членами М-ряда.

Следовательно, в рассматриваемом примере модулярная форма присутствует не в четырёхмерном пространств, а в обычном и привычном двухмерном евклидовом пространстве на плоскости. Её можно нарисовать и наглядно себе представить. Она стала известным математическим объектом не в 19 веке, а значительно раньше, когда стала известной теорема Пифагора.

На квадрате, диагональ которого d = √2 , можно построить пирамиду с высотой h = √2. Объём пирамиды V = 1/3 √2 связан с кубическим уравнение эллиптической кривой, а уравнение связано с длиной диагонали d = √2 квадрата, у которого сторона связана с модулярной формой.

Выражение объёма пирамиды будет заключать в себе Е-ряд (6), тождественный М-ряду (5), который выражает собой диагональ квадратного основания.

На месте того же квадрата могла бы быть построена усечённая пирамида, имеющая высоту h = √2. Выражение объёма усечённой пирамиды будет заключать в себе Е-ряд (6), тождественный М-ряду (5). Их совпадение мы наблюдаем визуально, так что нет и тени сомнения в том, что оба ряда и их члены реально существуют во взаимно однозначном соответствии, и что Е-ряд и М-ряд являются тождественными.

Пример 2. В роли модулярной формы выступает окружность радиуса R = 1, длина которой выражается равенством L = 2R π . Окружность имеет центр симметрии и бесконечное множество осевых симметрий. Ось окружности, или круга, можно сдвигать, или параллельно переносить в любом направлении и на любое расстояние. Её можно зеркально отражать, поворачивать бесконечно многими способами вокруг центра симметрии и вокруг оси симметрии, и при этом она не изменяет своей первоначальной формы и длины.

Можно заключить, что окружность радиуса R = 1, является модулярной формой по определению.

Выражение длины окружности L = 2R π при R = 1 заключает в себе М-ряд:

	L =	8 (1 -	1	+	1	-	1	+	1	-	1	+  ...)	(7)
			3		5		7		9		11

Окружность радиуса можно рассматривать как сечение поверхности шара этого же радиуса. Поверхность шара заключает в себе объём шара V = 4/3R² π. Выражение объёма шара радиуса заключает в себе форму Е-ряда:

	V =	1/3 (1 -	1	+	1	-	1	+	1	-	1	+  ...)	(8)
			3		5		7		9		11

Члены Е-ряда (8) в точности совпадают с соответствующими членами М-ряда (7). Объём шара V = 4/3R² π связан с длиной окружности L = 2R π радиуса R = 1, то есть кубическое уравнение эллиптической кривой, связано с модулярной формой.

Следовательно, в рассматриваемом конкретном примере объём шара определённого радиуса связан с кубическим эллиптическим уравнением, а уравнение связано универсальной связью с модулярной формой, которую собой представляет окружность, того же радиуса, который имеет шар. На месте шара вполне может быть круглый прямой конус V = 1/3πR²h, который имеет радиус R = 1 и высоту h = 1. Выражение объёма конуса заключает в себе число π, из чего следует, что он заключает в себе форму Е-ряда (8), тождественного М-ряду, который заключает в себе выражение дины окружности L = 2R π.

Число π, независимо от места его нахождения в той или иной аналитической форме, может быть выражено в форме бесконечной суммы слагаемых специального вида, как в виде Е-ряда, так и в виде тождественного ему М-ряда.

Гипотеза Таниямы утверждает, что описательное уравнение двух соответствующих друг другу разных математических объектов можно разложить в одни и те же математические ряды.

За примером 2 могут следовать четыре задачи-примера, которые в сентябре 1955 года в Токио на международном симпозиуме предложил Танияма участникам симпозиума с просьбой их прокомментировать. Задачи-примеры Таниямы указывали на связь между модулярными формами и кубическими эллиптическими уравнениями. За ними могут следовать примеры Шимуры, подтверждающие связь между модулярными формами и кубическими эллиптическими уравнениями. За ними могут следовать примеры математиков, которые могли появиться в последнее время и так же подтверждают взаимно однозначное соответствие членов Е-ряда и членов М-ряда модулярных форм и кубических уравнений эллиптических кривых. Полагаю, что гипотеза Таниямы доказана, и не мне судить о качестве доказательства.

Остаётся выяснить её отношение к доказательству Великой теоремы Ферма.

Доказательство теоремы Ферма методом Эратосфена

Во второй книге «Арифметики» Диофанта, на полях против восьмой задачи, состоящей в отыскании рациональных решений уравнения x² + y ² = a ², Ферма написал две следующие фразы:

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком малы» (Fermat, Oeuvres, 111, p. 241).

После изменения формулировки записи Ферма она вошла в толковый словарь математических терминов в следующей форме:

«Уравнение

xn + y n = a n,  где n > 2

(1)

не имеет решений в целых положительных числах».

В этой форме её пытаются доказать многие поколения профессионалов и любителей математики, но без успеха. Поэтому недоказуемость великой теоремы Ферма в течение стольких многих лет должна иметь свою причину.

Причиной, на мой взгляд, является то, что в выражении теоремы в форме уравнения (1), условие и заключение слиты воедино. Из него могут следовать два прямо противоположных заключения. Но из двух возможных заключений присутствует только одно, которое и требуется доказать.

Иначе говоря, условием великой теоремы Ферма является бесконечный рад натуральных чисел. В нём может присутствовать или хотя бы одно решение уравнения (1), или ни одного его решения. Требуется доказать, что уравнение (1) не имеет ни одного решения в целых положительных числах. Эту особенность в формулировке великой теоремы Ферма очень трудно обнаружить, что я испытал на самом себе. А когда я, наконец, обнаружил, то обнаружил, что метод нахождения решений уравнения (1) аналогичен методу нахождения простых чисел, который был открыт Эратосфеном.

Как известно, Эратосфен изготовил лист «бумаги» из воска и с помощью линейки провёл палочкой на нём на равном расстоянии параллельные горизонтальные и вертикальные линии. Он палочкой в клетках воскового листа написал натуральные числа в порядке их возрастания и стал палочкой протыкать составные числа, чтобы в клетках остались только простые числа, которые делятся только на два числа: на 1 и сами на себя.

В результате Эратосфен получил в одних клетках в полной сохранности простые числа, а в других клетках на месте составных чисел оказались дырочки. Дырявый восковой лист с написанными на нём простыми числами получил название «решето Эратосфена».

Можно себе представить что угодно: кентавра, русалку и Эратосфена, который использует на восковом листе натуральные числа для доказательства великой теоремы Ферма. Он рассматривает тройку натуральных чисел: если она не являются решением уравнения (1) великой теоремы Ферма, то числа строки он протыкает палочкой и на их месте появляются три дырочки. Если все натуральные числа протыкаются, то теорема Ферма доказана.

А) Первые три числа (1, 2, 3) могут собой представлять все возможные сочетания трёх элементов из трёх элементов:

Все сочетания троек чисел последовательности (2) можно назвать семейством сочетаний трёх чисел из трёх чисел. Большее число 3 является общим, постоянным числом. Остальные два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами.

Если три числа трёх сочетаний возвысить в степень n=3 и сравнить степени, то в результате можно получить семейство степенных неравенств в третьей степени:

В неравенствах (3) большее число 3 является общим, постоянным числом, а на другой стороне два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Левая большая сторона неравенств (3) не изменяется, а правая меньшая сторона становится ещё меньше. Это означает, что последующее неравенство сильнее предыдущего неравенства. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (3) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. куб большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два куба меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 3 на 1 и возвысим числа сочетаний троек чисел (2) в четвёртую степень. В результате получаются три степенных неравенства в четвёртой степени:

В степенных неравенствах (4) большее число 3 является общим, постоянным числом, а остальные два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности степенных неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (4) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. биквадрат большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два биквадрата меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 4 на 1 и возвысим числа сочетаний троек чисел (2) в пятую степень. В результате получаются три степенных неравенства пятой степени:

В неравенствах (5) большее число 3 является общим, постоянным числом, а остальные два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности степенных неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего, так как меньшая сторона предыдущего неравенства ещё меньше у последующего неравенства. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (5) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. невозможно разложить пятую степень большего числа сочетания трех чисел на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Это заключение имеет своим основанием один из важнейших методов доказательства в математике, который называется математической индукцией. Метод математической индукции состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют определённые свойства трёх сочетаний из трёх чисел в степени n > 3;
2) из предположения о том, что этими свойствами обладают все три сочетания из трёх чисел последовательности степенных неравенств (5) в степени n = k, где k – произвольно взятое целое число, вытекает, что этими свойствами они обладают и в степени n = k + 1. Это означает, что, вообще, при возрастании степени степенных неравенств на 1 неограниченное число раз и до бесконечности, никакую, сколь угодно большую, степень n = 3 большего числа в сочетании тройки чисел, невозможно разложить на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. На множестве натуральных чисел (1,2,3) уравнение (1) не имеет решений при n > 2. Что и требовалось доказать в первую очередь.

В сочетаниях троек чисел последовательности (6), которые можно назвать семейством сочетаний большее число 4 является общим, постоянным числом. Остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Если возвысить в степень n = 3 числа сочетаний из четырёх чисел семейства (6), то в результате можно получить семейство шести степенных неравенств третьей степени:

В шести неравенствах (7) большее число 4 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Меньшая правая сторона предыдущего неравенства больше правой стороны последующего неравенства. Каждое последующее неравенство сильнее предыдущего неравенства. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (7) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. куб постоянного большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два куба меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 3 на 1 и возвысим числа каждого из шести сочетаний семейства (6) в четвёртую степень. В результате получаются шесть степенных неравенства в четвёртой степени:

В степенных неравенствах (8) большее число 4 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности (8) неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, среди неравенств четвёртой степени не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. биквадрат большего постоянного числа сочетания трех чисел не разлагается на два биквадрата меньших двух чисел.

Увеличив степень n = 4 на 1, возвышаем числа шести членов семейства в пятую степень. В результате получаем последовательность шести неравенств в пятой степени:

В степенных неравенствах (9) большее число 4 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности степенных неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в последовательности степенных неравенств не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. невозможно разложить пятую степень большего числа сочетания трех чисел на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Следовательно, среди неравенств четвёртой степени не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. пятую степень числа 4 невозможно разложить на два меньших числа в той же степени. Это заключение имеет основанием своего доказательства метод математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют определённые свойства трёх сочетаний из четырёх чисел в степени n > 3;
2) из предположения о том, что этими свойствами обладают все шесть сочетаний в степени n = k, вытекает, что этими свойствами они обладают и в степени n = k + 1. Это означает, что, вообще, при возрастании на 1 степени трёх чисел в шести сочетаниях из четырёх чисел любое неограниченное число раз, до бесконечности, никакую степень n большего числа 4, невозможно разложить на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Следовательно, на множестве натуральных чисел (1,2,3,4) уравнение (1) не имеет решений.

С) Увеличим последовательность натуральных чисел на 1 и получим последовательность пяти чисел (1,2,3,4,5). Числа данной последовательности могут собой представлять 10 сочетаний трёх чисел из пяти чисел:

В семействе десяти сочетаний троек чисел большее число 5 является общим, постоянным числом. Остальные четыре меньших числа 4,3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Если возвысить в степень n = 3 тройки чисел и сравнить степени, то в результате можно получить семейство десяти степенных неравенств третьей степени:

В десяти неравенствах (11) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные четыре меньших числа 4,3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами, принадлежащими семейству десяти неравенств третьей степени. В последовательности неравенств левое крайнее неравенство имеет постоянную левую сторону меньшей, а переменную правую сторону большей. Уменьшение переменной правой стороны не исключает обращение неравенства в верное равенство. Но для появления равенства нет места, так как сразу появляется неравенство противоположного смысла.

Последующее неравенство имеет постоянную левую сторону и переменную правую меньшую сторону. Её уменьшение исключает возможность обращения неравенства в равенство, так как меньшая правая сторона последующего неравенства меньше правой стороны предыдущего неравенства. Каждое последующее неравенства сильнее предыдущего неравенства. Следовательно, в последовательности десяти неравенств категорически не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. куб большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два куба меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 3 на 1 и возвысим числа сочетаний троек чисел семейства (10) в четвёртую степень. В результате получаются десять степенных неравенства в четвёртой степени:

В степенных неравенствах (12) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 4,3,2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего, так как левые стороны неравенств не изменяются, а правые стороны уменьшаются. Следовательно, среди неравенств четвёртой степени не может возникнуть ни одного степенного равенства. Биквадрат большего постоянного числа левой стороны неравенства не разлагается на два биквадрата меньших двух чисел правой стороны неравенств.

Увеличив степень n = 4 на 1, возвышаем числа шести членов семейства в пятую степень. В результате получаем последовательность десяти неравенств в пятой степени:

В степенных неравенствах (13) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные четыре меньших числа 4,3,2 и 1 являются особенными, переменными числами, принадлежащими семейству неравенств пятой степени. В семействе неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в нём не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. пятая степень большего числа сочетания трех чисел не разлагается на две степени меньших двух чисел с тем же показателем.

Последовательность десяти неравенств (13) пятой степени обладает всеми основными свойствами последовательности десяти неравенств (12) последовательности. Увеличение степени n = 4 на 1 в последовательности десяти неравенств (12) преобразует её в последовательность десяти неравенств (13) не изменяя ни одного основного свойства.

Если продолжить увеличение степени семейства степенных неравенств и дальше, то основные свойства неравенств повышение степени оставляет в полной сохранности, в чём можно убедиться воочию, увеличив на 1 степень n = 5 десяти неравенств последовательности (13):

В степенных неравенствах (14) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные четыре меньших числа 4,3,2 и 1 являются особенными, переменными числами, принадлежащими семейству неравенств шестой степени. В семействе неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в нём не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. шестая степень большего числа сочетания трех чисел не разлагается на две степени меньших двух чисел с тем же показателем.

Это заключение может быть обосновано и доказано методом математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют определённые свойства последовательности степенных неравенств в степени n > 3;
2) из предположения о том, что этими свойствами обладают все степенные неравенства в степени n = k, вытекает, что этими свойствами они обладают и в степени n = k + 1. Это означает, что, вообще, при увеличении на 1 степени трёх чисел любое неограниченное число раз, до бесконечности, никакую степень n большего числа z на множестве натуральных чисел (1,2,3,4, … , z) невозможно разложить на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Следовательно, на множестве натуральных чисел множестве натуральных чисел (1,2,3,4, … , z) уравнение (1) , где n > 2 не имеет решений в целых числах.

На множестве натуральных чисел (1,2,3,4, … , z) не существует решений уравнения (1).

Пусть:
1) существуют с проявившимися основными свойствами сочетания трёх чисел из z чисел в степени n > 3;
2) из предположения о том, что указанными свойствами обладают все степенные неравенства в степени n = k, вытекает, что этими свойствам они обладают и в степени n = k + 1, при неограниченном возрастании степени. Следовательно, вообще, на множестве натуральных чисел не существует сочетания троек, которое представляло бы собой решение уравнения xⁿ + y ⁿ = z ⁿ, если степень n – целое число большее двух.

D) Итак, все возможные сочетания трёх чисел из трёх первых натуральных чисел (1,2,3) ни в какой степени большей квадрата не образуют равенства.

Увеличение числа z = 3 на 1 и получение z = 4 увеличивает число возможных сочетаний троек чисел до шести членов и при возрастании степени n > 2 до бесконечности она не изменяет основных свойств образующихся степенных неравенств. Поэтому ни какую целую степень числа z = 4, большую квадрата, невозможно разложить на две степени двух меньших целых чисел с тем же показателем.

Увеличение числа z = 4 на 1 и получение z = 5 увеличивает число возможных сочетаний троек чисел до десяти членов и при возрастании степени n > 2 до бесконечности она не изменяет основных свойств образующихся степенных неравенств. Поэтому ни какую целую степень числа z = 5, большую квадрата, невозможно разложить на две степени двух меньших целых чисел с тем же показателем.

Увеличение числа z = 5 на 1 можно продолжить и повторить его увеличение на 1 сколь угодно много раз. Каждый раз при его увеличении на 1 будет увеличиваться число возможных сочетание троек чисел, будет увеличиваться число степенных усиливающихся неравенств, но не может возникнуть ни одного степенного равенства.

В данном случае в доказательстве теоремы можно воспользоваться методом математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют усиливающиеся степенные неравенства в возрастающей до бесконечности целой степени и увеличивается число сочетаний трёх чисел при возрастании числа z;
2) из предположения о том, что постоянными свойствами обладают степенные неравенства на множестве натуральных чисел при z=m, вытекает, что этими свойствам они обладают и на множестве натуральных чисел при z = m + 1. Это значит, что на множестве натуральных чисел от 1 до z = m + 1 включительно при возрастании степени до бесконечности, не может возникнуть ни одного степенного равенства среди усиливающихся степенных неравенств.

Как известно, Эратосфен из бесконечного ряда натуральных чисел исключал составные числа, чтобы в результате оставались и остались только одни простые натуральные числа. Используя его метод, мною из бесконечного ряда натуральных чисел исключались числа, которые не являлись решениями уравнения (1) великой теоремы Ферма, чтобы в результате оставались и остались только одни решения уравнения великой теоремы Ферма. В результате у меня не оказалось ни одной тройки натуральных чисел, которые являлись бы решением уравнения (1) великой теоремы Ферма. В моём "решете" все клетки с натуральными числами оказались проткнутыми дырами.

Среди степенных усиливающихся неравенств не оказалось ни одного степенного равенства и поэтому не оказалось ни одного решения уравнения (1) в целых положительных числах при степени n > 2. И доказано, что, вообще, никакую целую степень, большую квадрата, произвольно взятого натурального числа невозможно разложить на две степени с тем же показателем.

Следовательно, великая теорема Ферма мною доказана методом Эратосфена во всей всеобщности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Во-первых, доказательство гипотезы Таниямы существует само по себе, вне какой-либо связи с доказательством великой теоремы Ферма и вне какой-либо связи с уравнениями Фрея.

Во-вторых, доказательство великой теоремы Ферма методом Эратосфена существует само по себе, вне какой-нибудь связи с доказательством гипотезы Таниямы и вне какой-нибудь связи с уравнениями Фрея.

В-третьих уравнения Фрея существуют только в представлении самого Фрея и вне какой-нибудь связи с доказательством гипотезы Таниямы и с доказательством великой теоремы Ферма.

В-четвёртых, Эндрю Уайлс пытался доказать великую теорему Ферма на основе уравнений Фрея методом от противного, которым её доказать невозможно. Теорема Ферма им не доказана.

В-пятых, утверждение некоторых профессиональных математиков о том, что Ферма не располагал доказательством своей теоремы, следует считать ошибочном утверждением, хотя ба потому, что мне, школьному учителю, удалось получить её доказательство методом элементарной математики. Поэтому Пьер де Ферма вполне мог открыть поистине чудесное, доказательство своей теоремы лучшим методом и в более совершенной форме.