Задача Диофанта

В 1979 году мне удалось приобрести книгу в русском переводе "Творцы математики"** известного американского историка математики Эрика Темпла Белла, изданную в США в 1937 году (Книгу в формате djvu можно скачать  здесь ) . В книге один из её очерков посвящён Пьеру Ферма как королю любителей математики. По утверждению Э.Т. Белла, Ферма имел привычку, читая "Арифметику" Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. На полях второй книги "Арифметики", комментируя восьмую задачу Диофанта, Ферма написал:

"Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы" /**с. 69/.

Комментарий к задаче Диофанта, когда он был обнародован после смерти Ферма, получил название великой теоремы Ферма. В такой формулировке мне до этого времени она не была известна.

Размышления над примечанием Ферма к задаче Диофанта и размышления над задачей и её уравнением меня привели к предположению, что Ферма не написал условия теоремы и написал лишь её заключение, которое без её условия доказать невозможно в принципе. Условие теоремы определяет как её заключение, так и метод доказательства. По-моему, теорема Ферма такова:

" Если уравнение

имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение

не имеет решений на множестве целых положительных чисел. "

После Ферма его комментарий к задаче Диофанта не только принял форму уравнения (2). Гораздо важнее и существенно то, что оно оказалось лишённым необходимой связи с уравнением (1) и принятым одновременно за условие и заключение великой теоремы Ферма. Других причин многолетних безуспешных поисков, я предположил, что Пьер Ферма не написал условия теоремы, а написал лишь её заключение, которое без условия теоремы доказать невозможно. Иной причины многолетних безуспешных поисков доказательства уравнения (2) я не нашёл. Включение уравнения (1) в великую теорему Ферма в качестве её условия не открывало путь к успешному поиску доказательства уравнения (2), а требовало в первую очередь детального исследования решений уравнения (1) на множестве всех троек пифагоровых чисел.

Историк математики Э.Т. Белл принимает восьмую задачу Диофанта в форме уравнения (1), в котором квадраты двух переменных x ² и y ² слагаются в a ², поскольку мы читаем слева направо. Математики древних народов читали и писали справа налево и при жизни Диофанта могли рассматривать данное уравнение с противоположной стороны:

Любое решение уравнения (3) представляет собой ( a, x, y ) тройка пифагоровых чисел. Каждая тройка пифагоровых чисел привязана к своему определённому натуральному числу, которое является и её индивидуальным порядковым номером. Между тройкой пифагоровых чисел и её номером, присутствующим в натуральном ряду чисел, существует взаимно однозначное соответствие.

Так, если дан индивидуальный номер, то по трём формулам можно определить числа тройки (a, x, y), а если дана тройка пифагоровых чисел, то можно по тем же формулам определить её индивидуальный номер.

Нечетное натуральное число N = 2k + 1 . К нему "привязана" тройка пифагоровых чисел. Числа тройки определяются по формулам:

k = 1,  2,   3,  ...	N = 3,  k = 1	(  y = 3,  x = 4,  a = 5  )
y =  N =  2k  +  1	N  =5,  k = 2	(  y  =  5,  x  =  12,  a  =  13  )
( 2k + 1 ) 2   -  1 2	N  =  7,  k  =  3	(  y  =  7,  x  =  24,  a  =  25  )
( 2k + 1 ) 2   +  1 2	N  =  9,  k  =  4	(  y  =  9,  x  =  40,  a  =  41  )
	N  =  11,  k  =  5	(  y  =  11,  x  =  60,  a  =  61  )
		и   т.  д.

Чётное число N = 2k. К нему "привязана" тройка пифагоровых чисел. ( a, x, y ), её числа определяются по формулам:

Кроме троек пифагоровых чисел, "привязанных" к своему индивидуальному номеру, по которому они определяются указанными формулами, существует бесконечное множество троек пифагоровых чисел, "свободных" от номеров, "безномерных", которые находятся по другим формулам. Например, тройки пифагоровых чисел ( y = 20, x = 21, a = 29 ), ( y = 33, x = 56, a = 65 ) и другие не имеют индивидуальных номеров и дополняют собой множество пифагоровых чисел, имеющих индивидуальные номера.

Если каждому натуральному числу N > 2 соответствует своя определенная тройка пифагоровых чисел, если их счетное множество объединить с множеством "безномерных" пифагоровых чисел, то объединённое множество пифагоровых чисел будет заключать в себе натуральный ряд чисел в качестве подмножества.

В уравнении (3) a ² получает своё определение и выражение в форме суммы переменных x ² и y ² .

Произвольно взятый квадрат числа a ² в процессе разложения на x ² и y ²   не изменяет своего числового значения, доказывая свою независимость от числовых значений переменных x ² и y ² .

Изменение значений переменных x и y находится в подчинённом отношении к значению постоянной a. Они принимают значения, которые меньше значения a, и только те значения, при которых сумма их квадратов равна квадрату a. Другими словами, область допустимых значений переменных x и y определяется значением постоянной a :    x < a,    y < a.

Нахождение решений уравнения (3), равносильного уравнению (1), сводится:

По теореме Пифагора, площадь квадрата, построенного на гипотенузе a прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах x и y.

Между членами уравнения (3) и площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, существует взаимно однозначное соответствие. Можно себе представить, что тройки чисел уравнения (3) сбросили с себя форму натуральных чисел и приняли на себя геометрическую форму сторон и площадей квадратов.

Из данного условия следует заключение: можно разложить площадь квадрата на площади двух квадратов.

Квадраты a ² , x ² и y ² можно рассматривать в трёхмерном пространстве как квадратные основания трёх параллелепипедов одинаковой произвольной высоты h.

Умножим обе стороны уравнения (3) на целое число h. В результате получаем уравнение:

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), так как все решения уравнения (3) являются решениями уравнения (4) и обратно. На левой стороне уравнения (4), произведение a²h можно рассматривать как объём параллелепипеда высотой h, построенного на квадрате гипотенузы a. Высота h может иметь значение любого натурального числа, так что верхнее основание параллелепипеда может оказаться выше облаков. (Рис.2)

На правой стороне уравнения (4) произведение x²h можно рассматривать как объём параллелепипеда высотой h, построенного на квадрате, принадлежащем катету x. Произведение y²h можно рассматривать как объём параллелепипеда высотой h, построенного на квадрате, принадлежащем катету y. Площадь основания параллелепипеда левой стороны уравнения равна сумме площадей оснований параллелепипедов правой стороны уравнения.

При равенстве площади a² сумме площадей x² и y² и при равенстве высот h трёх параллелепипедов объём параллелепипеда, построенного на квадрате, принадлежащем гипотенузе a, разлагается на объемы двух параллелепипедов, построенных на квадратах, принадлежащих катетам x и y. Следовательно, уравнение (4) показывает, что объём параллелепипеда a²h его левой стороны разлагается на объёмы x²h и y²h двух параллелепипедов его правой стороны. Высота h параллепипедов может быть равна любому целому положительному числу, включая: h = a, при котором уравнение (4) обращается в равносильное уравнение.

Из уравнения (5) следует: куб a разлагается на два параллелепипеда x ²a и y ²a . Оно является равносильным уравнению (1), которое было принято за условие великой теоремы Ферма, нуждающееся в детальном исследовании и освоении всего относящегося к нему материала. Теперь его исследование выполнено, существование бесконечного множества решений уравнения (5) и равносильного ему уравнения (1) на множестве всех троек пифагоровых чисел установлено окончательно и не может вызывать сомнения. Появилась реальная возможность начать поиск доказательства заключения (2) великой теоремы Ферма, основанием которого является принятое мной её условие (1).