Какие теоремы можно и какие нельзя доказать от противного

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме.

«Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».

Доказательство от противного очень часто применяется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.

Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.

Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) - теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.

Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.

Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е. Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.

Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е, дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е.

В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е. Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.

Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье - исключено.

Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)». Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.

Дано: из А следует Е и из А не следует Е.

Доказать: из А следует Е.

Доказательство: Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е.

Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е. Утверждение из А следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.

Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.

Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.

Дано: А .

Доказать: из А следует Е.

Доказательство.

1. Из А следует Б (по ранее доказанной теореме).

2. Из Б следует В ( по ранее доказанной теореме)).

3. Из В следует Г ( по ранее доказанной теореме).

4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).

5. Из Д следует Е ( по ранее доказанной теореме).

На основании закона транзитивности, из А следует Е. Прямая теорема доказана обычным методом.

Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А.

Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.

Дано: Е

Доказать: из Е следует А.

Доказательство.

!. Из Е следует Д ( по ранее доказанной обратной теореме).

1. Из Д следует Г ( по ранее доказанной обратной теореме).

2. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).

3. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А.

В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.

Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.

Обратная теорема утверждает: из Е не следует А. Её условие Е, из которое следует заключение А, является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А. В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А. Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.

В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.

Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А, в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А, которое доказано доказательством прямой теоремы.

Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А, что и требовалось доказать.

Вывод: логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.

Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.

Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
y² + x (x - aⁿ) (y + bⁿ) = 0.

«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению aⁿ + bⁿ = cⁿ, указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма».( Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)

Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y² + x (x - aⁿ) (y + bⁿ) = 0, которое задаётся его эллиптической кривой.

Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.

Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.

В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение , xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах.

Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.

Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.

Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно.

Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.

По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».( Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»). Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.

Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая - использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.

Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.